Makalah Aplikasi Turunan

BAB I

PENDAHULUAN

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac Newton (1642 – 1727), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus.

Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan demikian, mempelajari aplikasi / penerapan konsep turunan adalah hal yang sangat penting bagi para pencari ilmu.

BAB II

PEMBAHASAN

1.1    Nilai Maksimum dan Minimum

Definisi
Andaikan S daerah asal dari f, mengandung titik c, kita katakan bahwa:

• f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f(c) ≥ f(x) untuk semua x di S
• f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S
• f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum

Fungsi yang ingin kita maksimumkan atau minimumkan adalah fungsi objektif

Teorema : Keberadaan Maksimum-Minimum
Jika f kontinu pada selang tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di sana. Keberadaan minimum dan maksimum pasti ada pada suatu selang tertutup. Ini sangatlah jelas, apalagi kurva yang ada di dalamnya adalah kurva naik atau kurva turun. Untuk kurva yang datar, di semua titik adalah maksimum dan minimum.

Teorema : Titik Kritis
Andaikan f terdiferensiasikan pada selang I yang memuat titik c. Jika f(c)  adalah nilai ekstrim, maka c haruslah berupa suatu titik kritis, yakni c berupa salah satu

• Titik ujung dari I
• Titik stasioner dari f (f’(c) = 0)
• Titik singular dari f (f’(c)) tidak ada

 1.2    Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi Kemonotonan
Andaikan f terdefinisi pada selang I (buka, tutup atau tak satupun). Kita katakan bahwa :

• f monoton naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I berlaku x₁ < x₂ → f(x₁)  < f(x₂)
• f monoton turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x₁ dan x₂ dalam I berlaku x₁ < x₂ → f(x₁)  > f(x₂)
• f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I

Teorema : Turunan Pertama dan Kemonotonan
Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik–dalam dari I

• Jika f’(x) > 0  untuk semua x titik–dalam I, maka f monoton naik pada I
• Jika f’(x) < 0  untuk semua x titik–dalam I, maka f monoton turun pada I

Definisi Kecekungan
Andaikan  f  terdiferensialkan pada selang buka I. Kita mengatakan bahwa f (dan grafiknya) cekung ke atas pada I jika f’ naik pada I dan kita mengatakan bahwa f cekung ke bawah pada I jika f’ turun pada I

Teorema : Turunan Kedua dan Kecekungan
Andaikan  f  terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I

• Jika f ”(x) > 0  untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I
• Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke bawah pada I

Titik Belok
Andaikan f(x) kontinu di x = b. Maka (b,f(b)) disebut titik belok dari kurva f(x) jika :
terjadi perubahan kecekungan di x = b, yaitu di sebelah kiri dari x =b, fungsi f cekung  ke atas dan di sebelah kanan dari x =b fungsi f cekung ke bawah atau sebaliknya x = b adalah titik belok, jika f “(b) = 0   atau f(b) ada.

1.3    Nilai Maksimum dan Minimum Lokal
Definisi
Andaikan S daerah asal dari f mengandung titik c. Kita katakana bahwa

• f(c) adalah suatu nilai maksimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b)  yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai maksimum dari f pada (a,b) ∩ S
• f(c) adalah suatu nilai minimum lokal dari f jika terdapat sebuah interval (a,b) yang berisi c sehingga f(c) adalah nilai minimum dari f pada (a,b) ∩ S
• ·      f(c) adalah suatu nilai ekstrim lokal local dari f jika kedua-duanya adalah sebuah nilai maksimum local atau sebuah nilai minimum local.

Teorema
Andaikan f  kontinu pada selang buka (a,b) yang memuat titik kritis c

• Jika f ‘(x) > 0   untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilai maksimum lokal f
• Jika f ‘(x) < 0 untuk semua x dalam (a,c) dan f ‘(x) > 0 untuk semua x dalam (c,b) maka f(c)  adalah nilai minimum lokal f
• Jika f ‘(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c)  bukan nilai ekstrim local f

Teorema : Uji Turunan Kedua
Andaikan f ’ dan f “ ada pada setiap titik selang buka (a,b)  yang memuat c, dan andaikan f’(c) = 0

• Jika f ”(x) < 0   maka f(c) adalah nilai maksimum local f
• Jika   f ”(x) > 0  maka f(c) adalah nilai minimum local f

1.4    Limit di Ketakhinggaan, Limit Tak Terhingga
Definisi
(Limit bila x → ∞ ). Andaikan f terdefinisikan pada [c, ∞) untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim _x→∞ f(x) = L jika untuk masing-masing ɛ > 0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga.
X > M → |f (x) – L | < ɛ


Definisi
(Limit bila x → -∞). Andaikan f terdefinisikan pada ( -∞, c] untuk suatu bilangan c, kita katakan bahwa lim _{x→ -∞} f(x) = L jika untuk masing-masing ε >0, terdapat bilangan M yang berpadanan sedemikian sehingga
X < M → │f(x) – L│ < ε

Definisi
(Limit-limit tak- terhingga). Kita katakan bahwa lim _x→c+ f(x) = ∞ jika untuk tiap bilangan positif M, berpadanan suatu δ>0 demikian sehingga
0 < x – c < δ→ f(x) > M

Hubungan Terhadap Asimtot
Garis x = c adalah asimtot vertical dari grafik y = f(x). Misalkan garis x = 1 adalah asimtot tegak. Sama halnya garis-garis x = 2 dan x = 3 adalah asimtot vertical. Dalam nafas yang serupa, garis y = b adalah asimtot horizontal dari grafik y = f(x) jika
Lim x→∞ f(x) = b atau Lim x→ -∞ f(x) = b
Garis y = 0 adalah asimtot horizontal.

1.5    Teorema Nilai Rata-Rata

Teorema A
 (Teorema Nilai rata-rata untuk Turunan). Jika f  kontinu pada selang tertutup [a,b] dan terdeferensial pada titik-titik dalam dari (a,b), maka terdapat paling sedikit satu bilangan c dalam (a,b) dimana
atau     f(b) – f(a) = f’(c) (b-a)

Teorema B
Jika F’(x) = G’(x) untuk semua –x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian sehingga F(x) = G(x) + C
Untuk semua x dalam (a,b)

1.6    Aplikasi Turunan dalam Berbagai Bidang
Dalam Bidang Matematika

1. Tentukan ukuran persegi panjang yang dapat dibuat dari kawat sepanjang 100 cm agar luasnya maksimum !

Jawab
Misal panjang persegi panjang = y, lebar persegi panjang = x
Luas = L = x . y
Karena 2x + 2y = 100 à y = 50 – x
Sehingga,    L          = x . y
= x (50 – x)
= 50x – x² , 0 ≤ x ≤ 50
L’(x)    = 50 – 2x
x = 25
Karena L”(x) = -2 < 0, maka di x = 25 maksimum.
Karena L(0) = 0, L(25) = 625, L(50) = 0 à agar luas maksimum maka haruslah
x = 25 dan y = 25

1. Tentukan persamaan garis singgung dari y = x³ - 2x² - 5 pada titik (3,2).

Jawab
y = f(x) = x³- 2x²- 5
y = f(x) = 3x²- 4x f ’(3) = 3(3)² - 4(3) = 15 ; m = 15.
Rumus Persamaan Garis Singgung :
y – y_o = m (x – x_o)
maka garis singgung fungsi diatas adalah :
y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43

Dalam Bidang Fisika

1. Sebuah roket yang diluncurkan vertikal diamati dari menara kontrol yang berjarak 3 km dari tempat peluncuran. Tentukan kecepatan vertikal roket pada saat jaraknya dari tempat peluncuran 5 km dan dan jarak ini bertambah dengan kecepatan 5000 km/jam

Jawab
Misal ketinggian roket y dan jarak dari menara z
Diketahui
= 5000   Saat z = 5000
Dengan menggunakan dalil Pythagoras diperoleh
y² + 9 = z²
Pada saat z = 5 maka y = 4
Dengan menggunakan turunan fungsi implisit didapatkan
2y  = 2z
Dengan mensubstitusikan y = 4, z = 5 dan = 5000 maka diperoleh
2y  = 2z
ó 2 (4)  = 2 (5) (5000)
ó 8  = 50.000
ó  = 50.000/8
ó  = 6250
Sehingga kecepatan vertikal roket =   = 6250 km/jam
Dalam Bidang Ekonomi
Dalam mempelajari banyak masalah ekonomi sebenarnya kita menggunakan konsep kalkulus. Misalkan dalam suatu perusahaan, PT ABC. Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk setiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p tergantung pada x. pendapatan total yang diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = x p(x), banyak satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memproduksikan dan memasarkan x satuan, ABC akan mempunyai biaya total C(x). Ini biasanya jumlah dari biaya tetap ditambah biaya variable. Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba P(x), yakni selisih antara pendapatan dan biaya.
P(x) = R(x) – C(x) = x p(x) – C(x)
Umumnya, sebuah perusahaan berusaha memaksimumkan total labanya.
Pada dasarnya suatu produksi akan berupa satuan-satuan diskrit. Jadi R(x), C(x) dan P(x) pada umumnya didefinisikan hanya untuk x= 0,1,2,3,…..dan sebagai akibatnya, grafiknya akan terdiri dari titik-titik diskrit. Agar kita dapat mempergunakan kalkulus, titik-titik tersebut kita hubungkan satu sama lainsehingga membentuk kurva. Dengan demikian, R,C, dan P dapat dianggap ebagai fungsi yang dapat dideferensialkan.
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan ntuk sementara direncanakan memproduksi 2000 satuan tahun in. ABC ingin menetapan biaya tambahan tiap satuan. Jika fungsi biaya adalah seperti pada gambar A, Direktur Utama ABC menanyakan nilai ∆C/∆X pada saat ∆x = 1. tetapi kita mengharapkan bahwa ini akan sangat dekat terhadap nilai Lim
Pada saat x = 2000. ini disebut biaya marjinal. Kita mengenalnya sebagai dc/dx, turunn C terhadap x. dengan demikian, kita definisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal dR/dx, dan keuntungan marjinal sebagai dP/dx.
Contoh Soal
Andaikan C(x) = 6700 + 4,15x + 30x^1/2 rupiah. Cari biaya rata-rata tiap satuan dan biaya marjinal dan hitung mereka bilamana x = 4000
Penyelesaian
Biaya rata-rata : C(x)/x = (6700 + 4,15x + 30x ^1/2) /x
Biaya marjinal : dC/dx = 4,15 + 30x ^-1/2
Pada X = 400 diperoleh
Biaya rata-rata = 22,4 x 400 = 8960
Biaya marjinal = 4,9 x 400 = 1960
Ini berarti bahwa rata-rata biaya tiap satuan adalah Rp. 8960 untuk memproduksi 400satuan yang pertama, untuk memproduksi satu satuan tambahan diatas 400 hanya memerlukan biaya Rp. 1960.

BAB III

PENUTUP

3.1     Kesimpulan
Dari uraian pembahasan di atas dapat disimpulkan bahwa turunan memiliki sangat banyak penerapan. Diantaranya adalah untuk menentukan nilai maksimum dan nilai minimum suatu fungsi, menentukan nilai maksimum dan nilai minimum lokal, menentukan kemonotonan dan kecekungan grafik fungsi, menentukan nilai limit tak hingga. Selain itu, konsep turunan juga dapat di aplikasikan untuk menyelesaikan masalah dalam berbagai bidang. Dalam fisika misalnya, turunan dapat digunakan untuk menghitung kecepatan. Dalam matematika sendiri turunan biasa digunakan untuk menentukan luas maksimum suatu benda, menentukan persamaan garis singgung, dll. Sedangkan dalam ekonomi,  turunan digunakan untuk menentukan biaya marjinal dari produksi suatu barang.

REFERENSI

Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus jilid 1. Jakarta: Erlangga

Setiawan. 2004. PDF Pengantar Kalkulus. http://Depdiknas.yogyakarta.com/ (diakses tanggal 18 Desember 2012)

a/n: berhubung kalo dipost langsung jadinya berantakan, download langsung makalahnya aja ya. Jangan lupa cantumkan credit alamat blog ini. terima kasih...
Link Download : Makalah Kalkulus – Aplikasi Turunan